Algèbre linéaire Exemples

(- 2) ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 340 & 2 & 2 435 & 1 & 4 225 & 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$(- 2) [\begin{array}{c} 340 & 2 & 2 \\ 435 & 1 & 4 \\ 225 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez

- 2

$- 2$ par chaque élément de la matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 \cdot 340 & - 2 \cdot 2 & - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 340 & - 2 \cdot 2 & - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.1

Multipliez

- 2

$- 2$ par

340

$340$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 680 & - 2 \cdot 2 & - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 680 & - 2 \cdot 2 & - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

2

$2$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 680 & - 4 & - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez

- 2

$- 2$ par

2

$2$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 680 & - 4 & - 4 - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez

$- 2$ par

$435$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.6

Multipliez

$- 2$ par

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.7

Multipliez

$- 2$ par

$225$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 450 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.8

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 450 & - 2 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.9

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 450 & - 2 & - 2 \end{array}]$

Étape 3

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 3.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- 680 | \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.9

Add the terms together.

$- 680 | \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 680 (- 2 \cdot - 2 - (- 2 \cdot - 8)) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 2$ .

$- 680 (4 - (- 2 \cdot - 8)) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot - 8)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 8$ .

$- 680 (4 - 1 \cdot 16) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$16$ .

$- 680 (4 - 16) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Soustrayez

$16$ de

$4$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (- 870 \cdot - 2 - (- 450 \cdot - 8)) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez

$- 870$ par

$- 2$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (1740 - (- 450 \cdot - 8)) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

Multipliez

$- (- 450 \cdot - 8)$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez

$- 450$ par

$- 8$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (1740 - 1 \cdot 3600) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$3600$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (1740 - 3600) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Soustrayez

$3600$ de

$1740$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 6

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (- 870 \cdot - 2 - (- 450 \cdot - 2))$

Étape 6.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez

$- 870$ par

$- 2$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (1740 - (- 450 \cdot - 2))$

Étape 6.2.1.2

Multipliez

$- (- 450 \cdot - 2)$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez

$- 450$ par

$- 2$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (1740 - 1 \cdot 900)$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$900$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (1740 - 900)$

Étape 6.2.2

Soustrayez

$900$ de

$1740$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 \cdot 840$

Étape 7

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez

$- 680$ par

$- 12$ .

$8160 + 4 \cdot - 1860 - 4 \cdot 840$

Étape 7.1.2

Multipliez

$4$ par

$- 1860$ .

$8160 - 7440 - 4 \cdot 840$

Étape 7.1.3

Multipliez

$- 4$ par

$840$ .

$8160 - 7440 - 3360$

Étape 7.2

Soustrayez

$7440$ de

$8160$ .

$720 - 3360$

Étape 7.3

Soustrayez

$3360$ de

$720$ .

$- 2640$