Algèbre linéaire Exemples

$(- 2) [\begin{array}{c} 340 & 2 & 2 \\ 435 & 1 & 4 \\ 225 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $- 2$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 340 & - 2 \cdot 2 & - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.1

Multipliez $- 2$ par $340$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 2 \cdot 2 & - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 2 \cdot 2 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 2 \cdot 435 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez $- 2$ par $435$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 2 \cdot 4 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 2 \cdot 225 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.7

Multipliez $- 2$ par $225$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 450 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 450 & - 2 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - 680 & - 4 & - 4 \\ - 870 & - 2 & - 8 \\ - 450 & - 2 & - 2 \end{array}]$

Étape 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 3.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 680 | \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 3.9

Add the terms together.

$- 680 | \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & - 8 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 680 (- 2 \cdot - 2 - (- 2 \cdot - 8)) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- 680 (4 - (- 2 \cdot - 8)) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot - 8)$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$- 680 (4 - 1 \cdot 16) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 680 (4 - 16) + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} - 870 & - 8 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (- 870 \cdot - 2 - (- 450 \cdot - 8)) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 870$ par $- 2$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (1740 - (- 450 \cdot - 8)) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- (- 450 \cdot - 8)$ .

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Étape 5.2.1.2.1

Multipliez $- 450$ par $- 8$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (1740 - 1 \cdot 3600) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $3600$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 (1740 - 3600) - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3600$ de $1740$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 | \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$

Étape 6

Évaluez $| \begin{array}{c} - 870 & - 2 \\ - 450 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (- 870 \cdot - 2 - (- 450 \cdot - 2))$

Étape 6.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 870$ par $- 2$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (1740 - (- 450 \cdot - 2))$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- (- 450 \cdot - 2)$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez $- 450$ par $- 2$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (1740 - 1 \cdot 900)$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $900$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 (1740 - 900)$

Étape 6.2.2

Soustrayez $900$ de $1740$ .

$- 680 \cdot - 12 + 4 \cdot - 1860 - 4 \cdot 840$

Étape 7

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 680$ par $- 12$ .

$8160 + 4 \cdot - 1860 - 4 \cdot 840$

Étape 7.1.2

Multipliez $4$ par $- 1860$ .

$8160 - 7440 - 4 \cdot 840$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 4$ par $840$ .

$8160 - 7440 - 3360$

Étape 7.2

Soustrayez $7440$ de $8160$ .

$720 - 3360$

Étape 7.3

Soustrayez $3360$ de $720$ .

$- 2640$